Пусть O  — центр шара. Про­ве­дем OH  — пер­пен­ди­ку­ляр к плос­ко­сти тре­уголь­ни­ка ABC. Тре­уголь­ни­ки AOH, BOH, COH равны по ги­по­те­ну­зе и ка­те­ту, по­это­му от­рез­ки AH, CH, BH равны и яв­ля­ют­ся ра­ди­у­са­ми опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка окруж­но­сти с цен­тром в точке H. ПО тео­ре­ме о сумме углов в тре­уголь­ни­ке: По тео­ре­ме си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке ABC:

Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке AHO:

Вы­чис­лим объем шара:

Най­дем зна­че­ние ис­ко­мо­го вы­ра­же­ния:

Ответ: 160.